Material de apoio: Correlação, Covariância e o Argumento Matemático da Diversificação

1. Preparação

O encontro abre medindo o preparo, com uma pergunta de Peer Instruction sobre o conteúdo desta seção. Faça as três partes antes da aula; a trilha mínima diz por onde começar quando o tempo da semana não alcança todas.

Autoestudos da semana

1. Diversificação eficiente: a matemática de não colocar todos os ovos na mesma cesta (80 min)
2. Atividade Ponderada 1: Diagnóstico de uma carteira herdada (120 min)

Os dois estão na Adalove. A Ponderada 1 vale 3 pontos e tem a carteira individualizada pelo último dígito do RA; o enunciado fica só na Adalove.

Animação 1: a curva de dois ativos conforme a correlação cai

O que observar: as carteiras de PETR4 com IVVB11, com volatilidades e retornos medidos na cesta. Só a correlação muda, de +1 a −1. Repare para onde vai o ponto de menor risco e em que correlação a curva passa à esquerda do IVVB11, o ativo menos arriscado.

Animação 2: a correlação móvel de dois pares

O que observar: a correlação de 63 pregões de ITUB4 com BBDC4 e de PETR4 com IVVB11. Compare o nível das duas linhas na maior parte do período e o que acontece com a segunda em março de 2020.

Autoverificação, sem nota

1. Dois ativos, um com 30% e outro com 20% de volatilidade, correlação zero e metade do dinheiro em cada. A volatilidade da carteira fica abaixo de 20%, entre 20% e 25% ou em 25%, a média das duas?
   Resposta comentada

   Abaixo de 20%: 18,03%. Com correlação zero o termo cruzado some, e a variância é 0,25 × 0,09 + 0,25 × 0,04 = 0,0325, cuja raiz é 18,03%. A carteira fica abaixo até do ativo menos arriscado. Os 25% só aparecem com correlação 1.

2. Na animação 1, com correlação −1, qual é o menor risco possível da carteira de PETR4 com IVVB11?
   Resposta comentada

   Zero, com 33,92% em PETR4. Com correlação −1 os dois retornos se movem sempre em sentidos opostos, e existe um peso em que as oscilações se anulam. Nenhum par real da cesta chega a −1.

3. Na mesma animação, com correlação +1, qual peso em PETR4 dá o menor risco?
   Resposta comentada

   Zero: tudo em IVVB11, com 20,15% de risco. Com correlação 1 a carteira é uma média ponderada das volatilidades, e misturar só aproxima do ativo mais arriscado.

4. Na animação 2, o que acontece com a correlação de PETR4 com IVVB11 entre o fim de 2019 e o fim de março de 2020?
   Resposta comentada

   Sobe de 0,01 para 0,77. O par que quase não tinha relação passou a cair junto no pior mês da janela, justamente quando a diversificação mais seria útil.

5. Por que um relatório ao comitê mostra a correlação no lugar da covariância?
   Resposta comentada

   A correlação não tem unidade e fica entre −1 e 1, então dá para comparar pares e períodos. A covariância está em retorno ao quadrado e depende das duas volatilidades: a covariância anual de 0,0212 entre PETR4 e VALE3, na matriz da cesta, não diz, sozinha, se o vínculo é forte. A correlação do mesmo par é 0,21.

2. Do risco de cada ativo ao risco da carteira

A tabela da Aula 02 mede cada ativo sozinho: a PETR4 tem 39,25% de volatilidade anual, o ITUB4 29,36%, o BBDC4 34,09% e o IVVB11 20,15%. O parceiro vai alocar o caixa numa carteira, e o risco da carteira depende também de como os ativos se movem juntos. Com peso w no ativo A e 1 − w no ativo B, a variância da carteira é:

variância = w² σa² + (1 − w)² σb² + 2 w (1 − w) ρ σa σb

Os dois primeiros termos são o risco de cada ativo, ponderado. O terceiro é o único que depende da correlação ρ. Com ρ = 1 a expressão vira um quadrado perfeito e o risco da carteira é a média ponderada das duas volatilidades. Qualquer correlação menor que 1 encolhe o terceiro termo e leva a carteira para baixo dessa média. Esse é o argumento matemático da diversificação apresentado por Markowitz em 1952.

3. Covariância e correlação

A covariância de dois ativos é a média do produto dos desvios de cada retorno diário em relação à própria média. Ela é positiva quando os dois costumam ficar acima (ou abaixo) da média no mesmo dia, e negativa quando um fica acima enquanto o outro fica abaixo. A unidade é retorno ao quadrado, e o tamanho depende das duas volatilidades.

A correlação é a covariância dividida pelo produto dos dois desvios padrão. A divisão tira a unidade e prende o número entre −1 e 1. Por isso a correlação compara pares e períodos, e é ela que circula num relatório; a covariância é o que entra na conta do risco e na matriz que o motor do A3 consome.

No pandas, retornos.cov() e retornos.corr() calculam as duas matrizes de uma vez. Por padrão, cada par usa os pregões em que os dois ativos têm retorno, e cada par fica numa janela diferente: com a GOLD11, que estreia em 11/12/2020, 1.423 pregões; sem ela, 1.907. Uma matriz montada assim não garante ser positiva semidefinida, e o otimizador da Aula 04 pode devolver variância negativa. Por isso a matriz desta aula segue a ADR-009 e parte da janela comum dos 15 ativos, retornos.dropna(): 1.423 retornos, de 14/12/2020 a 31/08/2026. A seção 6 mede o que essa janela custa.

4. A matriz de correlação da cesta

Com 15 ativos há 105 pares, e na janela comum a correlação média deles é 0,22: a cesta inteira se move junto em algum grau, porque todos respondem ao mesmo ciclo de juros e ao humor do mercado brasileiro.

Os 21 pares negativos da matriz têm todos a GOLD11 ou o IVVB11, e o menor é RENT3 com GOLD11, −0,22. O ouro costuma ser procurado quando a bolsa cai, o IVVB11 sobe em reais quando o dólar sobe, e a matriz registra os dois movimentos. Na aula, a sala classifica estes oito pares por uma heurística exploratória declarada no slide: correlação a partir de 0,60 concentra risco, de 0,30 a 0,60 é intermediária e abaixo de 0,30 diversifica. Os limiares servem para organizar a discussão e não têm respaldo em padrão de mercado. Correlação sozinha não decide quanto risco a carteira elimina: o peso de cada ativo e a volatilidade de cada um entram na mesma conta, e a correlação muda com a janela.

A tabela abaixo confere os oito pares com uma carteira de 50% em cada ativo, medida na janela comum dos dois (ADR-009). A redução compara a volatilidade anual da carteira com a média ponderada das duas volatilidades, em pontos percentuais e em proporção da média.

Na janela do par, que inclui março de 2020, PETR4 e BOVA11 sobe de 0,53 para 0,69 e PETR4 e VALE3 de 0,21 para 0,41, e os dois pares trocariam de classe pela heurística. ITUB4 com IVVB11 corta 25,33% do risco médio, e PETR4 com IVVB11, de correlação maior, corta 21,62%. O parecer do A3 cita peso, volatilidade, janela e redução medida ao lado de cada correlação.

5. O peso de menor risco

Derivando a variância de dois ativos em relação ao peso e igualando a zero, o peso em A que minimiza o risco é:

w* = (σb² − ρ σa σb) / (σa² + σb² − 2 ρ σa σb)

Sem venda a descoberto, o peso fica limitado entre 0 e 1. Aplicada aos três pares do widget da aula. Cada par é medido na janela comum dos dois ativos (ADR-009): 1.907 retornos desde 03/01/2019, ou 1.423 desde 14/12/2020 no par com a GOLD11.

O resultado do segundo par é o que mais surpreende: colocar 17,12% num ativo de 39,25% de volatilidade reduz o risco para 18,85%, abaixo dos 20,15% do IVVB11 sozinho. A correlação baixa faz os movimentos da PETR4 compensarem parte dos movimentos do IVVB11. No par de bancos acontece o contrário: com 0,80 de correlação, o melhor que a mistura consegue fica a 0,14 ponto percentual do ITUB4 sozinho. A correlação dos bancos aqui, 0,80, é maior que os 0,72 da matriz da cesta porque a janela do par inclui março de 2020.

6. A covariância anualizada

Com retornos diários independentes, a variância de 252 pregões é 252 vezes a variância diária, e o mesmo vale para a covariância. Por isso a matriz anual é a diária vezes 252, e a volatilidade anual é a raiz da diagonal. Na janela comum dos 15 ativos, a diagonal anual da PETR4 é 0,1116, e a raiz de 0,1116 dá 33,40%.

precos = ler_csv("precos_ajustados.csv", index_col="data", parse_dates=["data"]).ffill()
retornos = precos.pct_change(fill_method=None).iloc[1:]
comum = retornos.dropna()     # janela comum dos 15 ativos (ADR-009)
cov_anual = comum.cov() * 252
np.sqrt(np.diag(cov_anual))   # volatilidade anual na janela comum

Antes de entregar a matriz ao motor do A3, duas verificações: ela precisa ser simétrica e positiva definida (todo autovalor maior que zero). Uma matriz que não é positiva definida admite carteira com variância negativa, e o motor sorteia carteiras impossíveis. A matriz da cesta passa nas duas, e o notebook as executa.

O custo da janela comum

A Aula 02 mediu a PETR4 na série inteira dela, 39,25%. A diagonal da matriz dá 33,40% porque a janela comum dos 15 ativos só começa quando a GOLD11 passa a ter cotação. Os 484 retornos anteriores ficam de fora da matriz, e com eles março de 2020:

É o efeito de descartar datas que a Aula 01 mostrou no tratamento de ausências. A alternativa é tirar a GOLD11 da cesta: a janela comum dos 14 ativos restantes volta a ter 1.907 retornos, com março de 2020. O grupo registra essa escolha no ADR do estimador de covariância do A3, com os números desta tabela, porque ela decide se o motor e o otimizador da Aula 04 enxergam o choque de 2020.

7. Correlação em crise

A correlação da janela inteira é uma média de períodos calmos e de crises. Calculada em janelas móveis de 63 pregões, cerca de um trimestre, na janela comum de cada par, ela mostra quando os pares passam a andar juntos. Em março de 2020, a correlação média dos pares sobe de 0,36, na janela inteira, para 0,74 nos 22 pregões do mês. As duas médias usam os 14 ativos com cotação em 2020, sem a GOLD11.

Para o parceiro, a consequência é direta: a diversificação calculada com a correlação média promete uma redução de risco que encolhe justamente no mês em que ele mais precisaria dela. Um parecer honesto sobre uma carteira cita a correlação em crise ao lado da correlação média.

8. Encolhimento de Ledoit-Wolf

Uma matriz de covariância de 15 ativos estima 120 números (15 variâncias e 105 covariâncias). Com poucos pregões, parte desses números é ruído de amostra, e um otimizador aposta exatamente nesse ruído: ele concentra peso nos pares que, por acaso, pareceram pouco correlacionados.

O estimador de Ledoit e Wolf (2004) mistura a matriz amostral com um alvo simples, a identidade multiplicada pela variância média dos ativos, e calcula dos próprios dados a intensidade dessa mistura. Na janela comum dos 15 ativos, a mesma da matriz, a partir de 14/12/2020:

Quanto menos pregões, maior o encolhimento. O notebook traz a fórmula em NumPy, conferida contra o sklearn.covariance.LedoitWolf em tools/tests/test_aula03.py. A escolha entre a matriz amostral e a encolhida é o ADR do estimador de covariância pedido no A3, e a Aula 05 mede quanto essa troca mexe nos pesos ótimos.

9. Uma carteira só de bancos

Três ativos em partes iguais, medidos com a covariância anualizada na janela comum dos três ativos, 1.907 retornos desde 03/01/2019:

Com três ativos em cada carteira, a redução de risco vai de 9,11% na de bancos para 27,18% na mista. A diferença vem da correlação entre os ativos escolhidos, medida na matriz.

10. Depois do encontro

Desafio do notebook

Recalcular a matriz de correlação em duas janelas distintas e medir quanto cada par se move entre elas. A seção 8 do notebook traz a função a completar.

Avanço do A3

• SPEC.md do motor de simulação, com a matriz de covariância anualizada como entrada.
• Matriz de covariância anualizada exportada para o motor, simétrica e positiva definida.
• ADR do estimador de covariância (amostral ou Ledoit-Wolf, com qual janela e se a GOLD11 fica na cesta ao custo de março de 2020), com o impacto numérico da escolha.

O A3 vale 3 pontos. A review da Sprint 3 é em 19/11/2026, e a entrega vai até sexta, 20/11/2026, 23h59. A Ponderada 1 vale 3 pontos, com o parecer situado no período analisado.

Leitura complementar

O capítulo de diversificação eficiente do autoestudo da semana, relido com a matriz da própria cesta do grupo. As demais fontes estão na página de referências.